ESTATÍSTICA

ESTATÍSTICA 

Média Aritmética, Moda e Mediana

MÉDIA (Me)

Calcula-se a Média somando-se todos os valores de uma amostragem de dados e divide-se pelo número de elementos dessa amostragem. A Média deve ser utilizada para conjunto de dados que são distribuídos de maneira mais ou menos uniforme.

Fórmula:

Me = (x_{1 +} x_2........+ x_n) / n

Sendo que:

x_1, x_2....x_n são os diversos valores dos elementos e,

n = número de elementos

Exercícios:

1) Em uma sala de aula, os estudantes apresentam as seguintes idades:

25, 18, 20 e 22

Calcular a Média de idade desses estudantes.

Resolução:

Me = (x_{1 +} x_2+......+ x_n) / n

Me = (25 + 18 + 20 + 22) / 4

Me = 85 / 4 = 21,25 anos = 21 anos e 3 meses

MODA (Mo)

Quando um valor (elemento) aparece com maior frequência em uma amostragem de dados, damos o nome de Moda (Mo).

Quando dois valores aparecem com mais frequência em uma amostragem chamamos de bimodal.

Exercícios:

1) Em uma sala de cinema poderemos ter adultos masculinos (am), adultos femininos (af), crianças masculinas (cm) e crianças femininas (cf):

af; cf; af; cm; am; af

Calcular o valor da Moda desta amostragem.

Resolução:

Verificando-se a amostragem observamos que adultos femininos aparecem em mais vezes (3), portanto a Moda é 3:

Mo = 3

MEDIANA (Md)

O valor central de um conjunto de dados chamamos de Mediana. Para se calcular o valor da Mediana, devemos distribuir os elementos (dados) em ordem crescente ou decrescente.

1. a) Se o número de elementos for par a Mediana é encontrada somando-se os dois elementos do centro e dividindo-se por dois.

Exercícios:

1) Em uma sala de aula levantou-se o peso dos estudantes e obteve-se, em Quilogramas:

50; 45; 48; 65; 60 e 52

Resolução:

Colocamos os dados em ordem crescente:

45; 48; 50; 52; 60 e 65

Md = (48 + 65) / 2

Md = 113 / 2 = 56,50 Kg

1. a) Se o número de elementos for ímpar, a Mediana é encontrada pelo valor do elemento do centro.

Exercício:

2) Em uma sala de aula levantou-se o peso dos estudantes e obteve-se, em Quilogramas:

50; 45; 48; 65; 60; 52 e 63

Resolução:

Colocamos os dados em ordem crescente:

45; 48; 50; 52; 60; 63 e 65

Este conjunto tem 7 elementos, portanto a Mediana é o 4º elemento:

Md = 52 Kg

Média Aritmética (Ma)

A média aritmética é calculada somando-se todos os valores de uma amostragem e dividindo-se pelo número de elementos.

Exercício

1) Calcular a Média Aritmética (Ma) da amostragem:

2; 5; 4 e 3

Resolução:

Ma = (2 + 5 + 4 + 3) / 4

Ma = 14 / 2 = 7

Média Geométrica (Mg)

Quando os elementos de uma amostragem forem positivos, podemos calcular a Média Geométrica (Mg) extraindo-se a raiz enésima (número de elementos) do produto dos elementos dos dados.

Fórmula:

x_1; x_2......x_n (elementos) e n = número de elementos

Mg = (x_{1 x} x_{2 x ....x} xn)^1/n

Exercício:

1) Calcular a Média Geométrica da amostragem:

2; 3; 6; 4

Resolução:

Mg = (2 x 3 x 6 x 4)^1/4

Mg = (144)^1/4

HP 12 C

2 aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 2

3 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 6 

6 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 36

4 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 144

1 aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 1

4 aperta a tecla: (divisão); aparecerá no visor o número 0,25

Aperta a tecla Y^x (tecla de potência); aparecerá no visor o número 3,4641

Resultado: Mg = 3,4641 (com 4 casas após a vírgula)

Variância Desvio Padrão (Dp)

Variância

Define-se como x₁, x₂, …, x_n os n elementos de uma relação de dados e determina-se que x é a média aritmética desses dados, a fórmula para se calcular a variância amostral é:

Var.amostral = 

[(x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + ... + (x_n – x) ²] / (n – 1)                      ​                             

Calcularemos a variância populacional, considerando todos os dados da população, e não somente uma amostra, como segue:

Var. populacional = 

[(x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + ... + (x_n – x) ²] / n

Desvio Padrão

O Desvio Padrão (Dp) indica a uniformidade de um conjunto de dados, ou seja, quanto um elemento se aproxima do outro. Quanto mais próximo de zero for o Dp, mais homogêneo será o conjunto de dados.

Fórmula:

Calculamos a raiz quadrada positiva da Variância:

dp = √var

Exercício:

1) Em uma escola, de Educação Física a Coordenação observou os alunos do 6º ano que alcançaram as notas, de todas as disciplinas, acima da média. 

Verifiquem a amostragem: 4; 9; 6 e 8

Antes precisamos calcular a Média Aritmética:

Ma = (4 + 9 + 6 + 8) / 4

Ma = 27 / 4 = 6,75 (x)

Empregaremos a fórmula da Variância Amostral:

Var.amostral = 

[(4 – 6,75) ² + (9 – 6,75) ² + (6 – 6,75) ² + ... + (8 – 6,75) ²] / 4 - 1
                      ​                            

Var.amostral = [(– 2,75) ² + (– 2,25) ² + (– 0,75) ² + (– 1,25) ²] / 3

Var. Amostral = [7,5625 + 5,0625 + 0,5625 + 1,5625] / 3
                      ​                             

Var. amostral = 4,9167

Fórmula do desvio Padrão:

dp = √var

dp = √4,9167

dp = 2,217363

Resolução com a Máquina de Calcular HP 12 C: *

Digite o número 4 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 4; 

Digite o número 6,75 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número -2,75; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 7,5625;

Digite o número 9 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 9; 

Digite o número 6,75 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 2,25; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aperta-se a tecla de adição; aparecerá no visor 12,6250; 

Digite o número 6 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 6; 

Digite o número 6,75 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número -0,75; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 0,5625; aperta-se a tecla de adição; aparecerá no visor o número 13,1875;

Digite o número 8 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 8;

Digite o número 6,75 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 1,25; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 1,5625; aperte a tecla de adição; aparecerá no visor o número 14,75;

Aperte o número 4 e em seguida a tecla ENTER; aparecerá o visor o número 4; aperte o número 1 e em seguida a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 3; 

Aperta a tecla de divisão / aparecerá no visor o resultado 4,9167; 

Valor amostral = 4,9167 = Variância

Fórmula do desvio Padrão:

dp = √var 

dp = √4,9167 

dp = 2,2173

Resolução com a HP 12C

Continuação:

No visor aparece o número 4,91667 (com cinco casas após a virgula;

Aperta o número 1 e em seguida a tecla ENTER; aparecerá o número 1;

Aperta o número 2; aparecerá o número 2; em seguida aperta a tecla de divisão (:);

Aparecerá o número 0,50; aperta a tecla de potência Y^x aparecerá o número 2,2173.

 Exercícios Resolvidos sobre Probabilidade

1) Em uma caixa existem 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis. Se retirarmos uma bola da caixa, qual será a probabilidade de ser amarela?

Existem 10 elementos (espaço amostral) na caixa. Se dividirmos 4 por 10 teremos:

S = número de elementos

E = Retirada de uma bola amarelo.

P(E) = Probabilidade

 (E) = N(E) / N(S) = 2 / 16 = 1 / 8 = 0,125 = 12,50% (multiplicado por 100)

2) se lançarmos 4 moedas, qual a possibilidade de 2 caírem voltadas para coroa?

Cada moeda poderá fornecer 2 resultados, cara ou coroa. As quatro moedas fornecerão a possibilidade de 16 resultados (2.2.2.2) diferentes.

P(E) = n(E) / n(S) = 2 / 16 = 1 / 8 = 0,125 ou 12,50% (multiplicado por 100)

EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA I

Unidade 1

1) Em organização, os colaboradores da área de marketing apresentam as seguintes idades:

20, 28, 30 e 22

Calcular a Média de idade desses colaboradores.

Assinalar a resposta correta:

1. A) 32
2. B) 30
3. C) 25
4. D) 28
5. E) 22

Resolução:

Me = (20 + 28 + 30 + 22) / 4

Me = 100 / 4

Me = 25

Unidade 2

1) Exercício:

Na amostragem abaixo, calcular a Média Geométrica:

5; 7; 3; 2

Assinalar a resposta correta:

1. A) 3,2032
2. B) 3,8068
3. C) 3,7024
4. D) 3,2520
5. E) 3,4022

Resolução:

Mg = (5 x 7 x 3 x 2)^1/4

Mg = (210)^1/4

Resolução com a HP 12C

5 aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 5;

7 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 35;

3 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 105;

2 aperta a tecla x; aparecerá no visor o número 210;

1 aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 1;

4 aperta a tecla: (divisão); aparecerá no visor o número 0,25;

Aperta a tecla Y^x (tecla de potência); aparecerá no visor o;

número 3,8068;

Resultado: Mg = 3,8068 (com 4 casas após a vírgula)

Unidade 3 

1) Exercício: 

Em uma escola, observou – se que os alunos alcançaram as notas, de todas as disciplinas, acima da média. 

Verifiquem a amostragem: 6; 8; 7 e 9

Assinalar a resposta correta:

1. A) 1,2909
2. B) 1,8068
3. C) 1,7024
4. D) 1,2520
5. E) 1,4022

Calcular o Desvio Padrão:

Resolução: 

Antes precisamos calcular a Média Aritmética:

 Ma = (6 + 8 + 7 + 9) / 4

Ma = 30 / 4 = 7,50 (x)

Empregaremos a fórmula da Variância Amostral:

Var. amostral = 

[(6 – 7,50) ² + (8 – 7,50) ² + (7 – 7,50) ² + ... + (9 – 7,50) ²] / 4 - 1
                   

Var. amostral = [(– 1,50) ² + (0,50) ² + (– 0,50) ² + (1,50) ²] / 3

Var. amostral = [2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25] / 3 = 5 / 3
                      ​                             

Var. amostral = 1,66

Fórmula do desvio Padrão:

dp = √var

dp = √1,66

dp = 1,290969

Resolução com a Máquina de Calcular HP 12 C:

Digite o número 6 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 6;

Digite o número 7,50 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número – 1,50; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 2,25;

Digite o número 8 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 8;

Digite o número 7,50 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 0,50; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aperta-se a tecla de adição; aparecerá no visor 2,50; 

Digite o número 7 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 7;

 Digite o número 7,50 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número - 0,50; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 0,25; aperta-se a tecla de adição; aparecerá no visor o número 2,75;

Digite o número 9 e em seguida aperta a tecla ENTER; aparecerá no visor o número 9;

Digite o número 7,50 e em seguida aperta a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 1,50; digite o número 2 e em seguida aperte a tecla de potência; aparecerá no visor 2,25; aperte a tecla de adição; aparecerá no visor o número 5,0;

Aperte o número 4 e em seguida a tecla ENTER; aparecerá o visor o número 4; aperte o número 1 e em seguida a tecla de subtração; aparecerá no visor o número 3;

Aperta a tecla de divisão / aparecerá no visor o resultado 1,666...;

Valor amostral = 1,6666 = Variância (com 4 casas após a vírgula)

Fórmula do desvio Padrão: dp = √var

dp = √1,6666

dp = 1,290969

Unidade 4

1) Exercício 1

1) Em um saco existem 8 bolas roxas e 10 bolas marrom. Se retirarmos uma bola do saco, qual será a probabilidade de ser marrom?

Assinalar a resposta correta:

1. A) 55,55%
2. B) 53,20%
3. C) 54,7024
4. D) 55,2520
5. E) 52,4022

Existem 18 elementos (espaço amostral) no saco. Se dividirmos 10 por 18 teremos:

S = número de elementos

E = Retirada de uma bola amarelo.

P(E) = Probabilidade

P(E) = N(E) / N(S) = 10 / 18 = 5 / 9 = 0,5555... = 55,55% (multiplicado por 100)

 Referências:

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm

edisonpiresinter.com

Professor Edison Pires