JUROS COMPOSTOS

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TAXA DE JUROS EQUIVALENTES - JUROS REAIS

Entende-se por Taxa de Juros Equivalentes a que se utiliza de critérios de equivalência (Radiciação e Potenciação) para ser calculada.

Fórmula: i_n = (1 + i_m)^n/m onde temos > i_n = Taxa de Juros que queremos calcular em um determinado período “n”

e, i_{m =}Taxa de juros que conhecemos em um determinado período “m”.

Exercícios:

-Calcular a Taxa de Juros equivalentes a 36% ao ano em um período de um semestre.

I_m = 36% ao ano = 0,36 (÷ por 100) m = 1 ano = 12 meses n = 1 semestre = 6 meses

i_n = (1 + i_m)^n/m > i_n = (1 + 0,36)^6/12 > i_n = (1,36)^1/2 > i_n = (1,36)^0,5 A resolução depende da solução da potenciação.

Resolução com Máquina de Calcular - tecla de Potenciação: Y^x ou ^

i_n = (1,36)^0,5> 1,36 > Y^x > 0,5 > = > visor >1,166 > 16,66%(−1 ; x100)

Resolução na HP 12C:

1,36 > ENTER > 0,5 > Y^x > 1 > − > 100 > x >16,66% ao semestre

Resolução com a tecla de logaritmo:

log i_n = 0,5 x log1,36 > log i_n = 0,5 x 0,307 > log in = 0,154 > i_n = 0,166 (valor obtido com o cálculo de ant. log do número 0,154)

MONTANTE - JUROS REAIS

Entende-se por Montante de Juros Reais ou Equivalentes o Montante obtido do Valor Presente capitalizado pelo sistema de equivalência, ou seja, a Taxa de Juros é aplicada, após cada período sobre o Capital atualizado.

Fórmula: M = C (1 + i)ⁿ

Exercícios:

-Calcular O Montante de uma Aplicação no valor de R$50.000,00 sabendo-se que a Taxa de Juros Reais utilizada foi de 5% ao mês e que o Período de Aplicação foi de um trimestre.

I = 5% ao mês = 0,05 (/ 100) n = 1 trimestre = 3 meses C = 50.000,00

Resolução:

M = C (1 + i)ⁿ > M = C (1 + 0,05)³ > M = C (1,05)³ > M = 50.000,00 (1,05)³ > A resolução depende da solução da potenciação

Resolução na Máquina de Calcular com a tecla de Potenciação: Y^x ou ^

Para simplificar resolver primeiro a potenciação depois a multiplicação:

1,05 > Y^x > 3 > = > visor > 1,158 > x > 50.000,00 > = > Visor > 57.881,25 = Montante

Resolução na HP 12C:

1,05 > ENTER > 3 > Y^x > 50.000,00 > x > VISOR > 57.881,25 = M

CAPITAL - JUROS COMPOSTOS

Fórmula: C = M/ (1 + i)ⁿ

Exercício:

-Calcular o Valor de um Empréstimo a Juros Reais de 30% ao ano, sabendo-se que o mesmo foi pago após um bimestre pelo valor de R$35.000,00.

Resolução: M = 35.000,00 n = i bimestre = 2 meses

1º Passo calcular a taxa mensal equivalente:

i = (1 + 0,30)^1/12 > o expoente fracionário significa um mês dividido por 12 meses (um ano) > i = 1,30^0,083> 1,30 > Y^X > 0,083 > = → visor → 1,022 (TAXA CAPITALIZADA MENSAL)

C = M / (1 + i)ⁿ > C = 35.000,00 / 1,022 > C = R$34.246,57

-Calcular os Juros Reais aplicados em um empréstimo de R$100.000,00 que gerou um pagamento após 90 dias de R$125.000,00.

Resolução:

M = C (1 + i)ⁿ M = 125.000,00 C = 100.000,00 n = 90 dias = 3 meses

125.000,00 = 100.000,00(1 + i)ⁿ > 125.000,00/100.000,00 = (1 + i)³ > 1,25 = (1 + i)³ > para isolarmos “i” temos que extrair a raiz cúbica do primeiro e segundo termo da igualdade > 1 + i = 1,25^1/3 > i = 1,25^0,333 – 1 > 1,25 > Y^x > 0,333 > = > VISOR > 1,077 > − > 1 > 0,077 ou > 7,7% ao mês (x 100)

JUROS COMPOSTOS - TAXAS DE JUROS

Fórmula: i = (M/C)^1/n-1

-Exercícios:

Calcular a taxa de Juros Reais aplicada em um financiamento no valor de R$25.000,00, sabendo-se que o mesmo foi pago 60 dias após pelo valor de R$30.000,00.

Resolução: C = 25.000,00 M = 30.000,00 n = 60 dias = 2 meses i =?

I = (M/C)^1/n > i = (30.000,00 / 25.000,00)^1/2 > i = 1,2^0,5 > 1,2 > Y^x > 0,5 > = > VISOR > 1,095 = 9,5 % ao mês (− 1 e x 100)

PRAZOS (PERÍODOS)

Fórmula: n = (log M – log C) / log (1 +i)

-Exercícios:

-Calcular o prazo de uma Aplicação Financeira no Valor de R$60.000,00, sabendo-se que a mesma foi feita pelo período de um semestre a uma Taxa de Juros Compostos de 21% ao ano e que o Resgate foi de R$66.000,00.

Resolução: C = 60.000,00 M = 66.000,00 i = 21% ao ano = 0,21(÷100)

1º Passo: Calcular a Taxa Equivalente a 21% ao ano em um período semestral > 1,21 > Y^x > 0,5 > = > VISOR > 1,10

> i = 10% (− 1 e x 100) ao semestre = 0,10

OBS.: 1,21 é a Taxa de Juros de 21% ao ano dividida por “100” e capitalizada e 0,5 porque o semestre tem meio ano.

n = (log M – log de C) / log (1 + i) > n = (log 66.000,00 – log 60.000,00) / log (1 + 0,10) > n = (11,097 – 11,002) /log 1,10 >

n = 0,095/0,095 > n = 1 semestre

UTILIZAÇÃO DA “HP” 12C

TECLAS FINANCEIRAS:

n → Prazo ou Períodos – esta tecla funciona com frações de 0,5

i → Taxa de Juros em porcentagem

PV → Valor Presente

PMT → Parcelas (Pagamentos ou Recebimentos) de mesmo Valor Nominal e mesmo intervalo de tempo entre elas (Consecutivas)

FV → Valor Futuro

CHS → Troca de Sinais

ENTER → Alimentar a máquina

CLX → Limpa o Visor da Máquina mantendo a memória e registros

f → CLX → Limpa os Registros da Máquina

f → X↔Y → Limpa as Teclas financeiras

f → R↓ → Limpa os Programas inseridos

CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (CAPITAL) NA “HP 12 C”

EXERCÍCIOS:

-Calcular o Valor de um Empréstimo, sabendo-se que o mesmo foi quitado (pago) 90 dias após, a Juros Compostos de 25% ao ano, por R$30.000,00.

n = 90 dias; i = 25% ao ano > 1,25 > ENTER > 1 > ENTER > 360 > ÷ > Yx > VISOR > 1,000620035 > − > 1 > x > 100 > i = 0,062003515 % ao dia; FV = 30.000,00; PV =?

Resolução:

90 > n > 0,062003515 > i > 30.000,00 > CHS > FV > PV > VISOR > R$28.372,25.

(a tecla CHS tem que ser apertada para mudar o sinal de um e somente um dos valores: PV; FV ou PMT se houver).

CÁLCULO DO VALOR FUTURO (MONTANTE)

-Sabendo-se que o Valor de um Empréstimo foi de R$28.372,25 e que o mesmo foi quitado 90 dias após a uma Taxa de Juros Compostos de 25% ao ano, calcular o Valor do Pagamento.

n = 90 dias; i = 25% ao ano > 1,25 > ENTER > 1 > ENTER > 360 > ÷ > Yx > VISOR > 1,000620035 > 1 > − > 100 > x > i = 0,062003515 (% ao dia); PV = 28.372,25; FV =?

Resolução:

90 > n > 0,062003515 > i > 28.372,25 > CHS > PV > FV > VISOR > PV = R$30.000,00

(a tecla CHS tem que ser apertada para mudar o sinal de um e somente um dos valores: PV; FV ou PMT se houver).

CÁLCULO DA TAXA DE JUROS COMPOSTOS – HP 12 C

Exercícios:

-Calcular a Taxa de Juros Reais aplicada em um empréstimo de R$42.000,00 para ser pago em um Prazo de um trimestre e valor de pagamento R$55.000,00.

PV = 42.000,00 FV = 55.000,00 n = 1 trimestre = 3 meses i =?

Resolução: 3 > n > 42.000,00 > CHS > PV > 55.000,00 > FV > Aperta > i > Visor > 9,405159 % ao mês.

CÁLCULO DO PRAZO OU PERÍODO – HP 12 C

Exercício

-Calcular o Prazo de uma aplicação financeira no valor de R$100.000,00, resgate de R$133.100,00, sabendo-se que a mesma foi calculada a Juros Reais de 10% ao mês.

PV = 100.000,00 FV = 133.100,00 i = 10% ao mês n=?

Resolução: 100.000,00 > CHS > PV > 133.100,00 > FV > 10 > i > aperta > n > Visor > 3 meses

CÁLCULO DO “PMT” – HP 12 C

Exercício

-Comprou-se um veículo por 30.000,00 com R$5.000,00 de Entrada e o restante financiado em 24 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a juros reais de 2,5% ao mês. Qual o Valor das Parcelas?

PV = 30.000,00 – 5.000,00 = 25.000,00 n = 24 i = 2,5% ao mês PMT =?

Resolução: 24 > n > 2,5 > i > 25.000,00 > CHS > PV > aperta > PMT > Visor > R$1.397,82.

Observação: Na HP 12 C a tecla “n” trabalha com períodos inteiros arredondando as frações de períodos; trabalhando-se com taxa diária equivalente sanamos o problema tendo o resultado em dias e transformando-o na unidade de tempo necessária.

FLUXO DE CAIXA

Teclas da HP 12 C

CFo→ Valor inicial do Fluxo de Caixa lançado nesta tecla apertando-se antes as teclas CHS e g

CFj → Todos os demais valores serão lançados nesta tecla apertando-se antes a tecla g e a tecla CHS se as saídas forem maiores do que as entradas naquele período.

Nj → Número de vezes que um mesmo valor nominal aparece na sequência no Fluxo tendo o mesmo Intervalo de tempo entre eles.

Uma vez lançado todos os valores do fluxo poderemos calcular:

-O Valor Presente Líquido (tecla NPV) apertando-se antes a tecla f e,

-A Taxa Interna de Retorno (IRR) apertando-se antes a tecla f.

OBS.: Para se calcular o NPV será necessário termos uma taxa de referência que o investidor aceita como taxa de retorno de seu investimento.

-O Valor Presente Líquido representa todos os valores do Fluxo de Caixa levados para o período inicial em que o Fluxo está sendo analisado, calculados com a taxa de referência; somamos todas as Entradas e subtraímos da soma de todas as Saídas; se o valor for positivo teremos Superávit (seta para cima), se negativo teremos Déficit (seta para baixo).

-A Taxa Interna de Retorno (IRR) é a Taxa que, aplicada sobre os Valores Futuros do Fluxo, calcula seus Valores Presentes somando

todas as Entradas e subtraindo de todas as Saídas e tendo como resultado o mesmo Valor do Investimento Inicial, zerando o Fluxo desta forma.

-Sempre que em determinado período não houver valores de Entrada nem de Saída ou, que os Valores de Entrada forem iguais aos de Saída (Entradas menos Saídas igual a zero), deveremos lançar zero na tecla CFj.

Exercícios:

1) Calcular a Taxa Interna de Retorno do Fluxo:

200 200 200 200

/0_______/1________/2________/3_______/4________5/ Períodos

300 200

Resumo do Fluxo:

200 200 200

/0_______/1_______/2_______/3________/4________/5

300

Resolução:

300 > CHS > g > CFo > 0 > g > CFj > 200 > g > CFj > 2 > g > Nj > 0 > g > CFj > 200 > g > CFj

f > IRR (FV) > VISOR → 24,4355 % por período

2) No Fluxo anterior, calcular o Valor Presente Líquido, conhecendo-se a Taxa de Retorno que o investidor aceita igual a 20 % por

período.

Resolução:

300 > CHS > g > CFo > 0 > g > CFj > 200 > g > CFj > 2 > g > Nj > 0 > g > CFj > 200 > g > CFj

f > NPV (PV) > 35,00